基于非线性最小二乘拟合的太阳影子定位
 
                                  山东大学   张林海_董昊宇_甄艳洁  指导教师刘保东
 

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摘要
    太阳影子定位是通过分析视频中物体太阳影子的变化来确定视频拍摄地点和日期的一种方式。本文综合分析了直杆影子与各个参数（被测物体所在经纬度、拍摄日期、杆长等）之间的函数关系，并且给出了在已知若干组时间与影长的对应关系的情况下，识别未知参数的方式。最终可根据在若干个时间点影子的长度，求得直杆的杆长，所在经纬度以及测量的日期。
对于问题1：本文根据天体物理学及几何光学的知识，用解析立体几何的方式对经度、纬度、杆长、影长、日期和时间的关系进行分析，得在日期、杆长和经纬度确定的情况下，直杆影长随时间变化的函数表达式，并求出在题目条件下天安门广场直杆太阳影子的变化曲线（图4）。同时，定性分析了影子长度关于各个参数的变化规律。
对于问题2及问题3：基于问题一的模型，已知若干组影长和时间，求经纬度和日期可能的取值，属于参数识别问题。本文选用  非线性最小二乘拟合 的方法识别参数，为此需要确定参数向量的取值范围及初始值。
在确定参数向量范围时，为降低时间复杂度，本文基于贪婪算法的思想，采用由粗糙到精细的识别方式，先根据问题一的定性分析以及相应数据确定参数较大范围的取值空间；再用多项式拟合求出影长随时间变化的估计函数图像，找到该地直杆最短影长与达到最短影长的时间，并通过对问题一模型的反解推导出大致的经度值和杆长，根据此值缩小非线性最小二乘拟合的参数取值范围，使算法的时间复杂度约降低了95%，并证明，该方法不会影响精度。在确定参数向量初始值时，为了得到更为精确的解，采用遍历算法确定多个搜索的初始值并选择最优解。
由此求得问题二的一组较为精确的参数值为杆长2.0259m，纬度19.3845°N，经度108.9554°E。求得问题三附件2的一组较为精确的参数值为杆长1.9794m，测量日期为7月20日，测量地的经度为79.6643°E，纬度为39.5140°N；同样求得附件3的一组较为精确的参数值为杆长2.1940m，测量日期为1月19日，测量地的经度为111.3003°E，纬度为37.2433°N。
对于问题4：通过一系列假设和分析，本文建立了基于单目成像       的空间立体几何模型，并建立适当的直角坐标系，推导出了实际影长关于视频中影子顶点坐标的函数表达式；并从视频中截取图片，得到了一系列像素的点的坐标；最后，将像素点坐标应用于模型，得到一组近似的参数值为：经度96.5776°E，纬度48.5775°N。
对于问题一模型的误差分析与优化，本文主要考虑了由地球曲率以及一日内太阳直射点纬度值的变动造成的影响；对于模型二及模型三的误差分析与优化，本文主要考虑了可用启发式智能算法进行求解以提高精确度。对于模型四的误差分析与优化，本文主要考虑了信息提取技术水平高低以及参数识别方法带来的影响。
 
 
关键词  天体物理学 几何光学 非线性最小二乘优化 贪婪算法 单目成像原理
 
 
 
一、问题重述
太阳影子定位技术通过分析视频中物体在太阳下的影子变化，确定视频拍摄地点与拍摄日期，可为视频数据分析作出重要作用。  
本文需要解决的问题有：
(1) 建立影子长度随各个参数变化的模型，并分析影子长度关于各个参数的变化规律，利用模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
(2) 已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子随时间变化的顶点的坐标数据及日期，建立数学模型确定直杆所处的若干可能地点。
(3) 已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子随时间变化的顶点的坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的若干可能地点。
(4)有一根直杆在太阳下的影子变化的视频，已知直杆的高度为2米。建立数学模型确定视频拍摄地点，并应用建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。判断在拍摄日期未知的情况下，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。
 
 
二、模型假设
(1)由于太阳距离地球约为150000000千米，地球的半径约为6371千米，地球上任意两点与太阳的连线的夹角趋于0°，所以可假设太阳光为平行光。
(2)由于需要处理的影长数量级一般在100米，在此数量级上地球的曲率不明显，所以可以忽略地面的弧度，将其视为一光滑的平面。
(3)由于太阳直射点纬度值一年内的变化范围约为47°，一天之内直射点纬度值的变化量约为0.12°，所以忽略一天之内太阳直射点纬度的变化。
(4)由于空气折射率约为1.000277       ，所以可忽略太阳光线在大气中的折射。
 
 

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• 基本符号说明

 
四、问题分析及模型建立
5.1.1 问题一的分析
由天体物理学以及几何光学的相关知识可得，影响物体影子长度的主要参数有时间(年，月，日以及时，分，秒），物体所处的地理位置（经度以及纬度）和物体本身的形状以及物体与地面间的几何关系。       为了简化模型，本文主要考虑垂直于地面的直杆的影子在不同参数下的变化规律。
5.1.2 问题一的模型建立